Algebra: Gruppen – Ringe – Körper by PD Dr. Christian Karpfinger, Prof. Dr. Kurt Meyberg (auth.)

By PD Dr. Christian Karpfinger, Prof. Dr. Kurt Meyberg (auth.)

Dieses Lehrbuch zur Algebra bietet eine Einführung in die grundlegenden Begriffe und Methoden der modernen Algebra. Es werden die Themen eines Grundkurses zur Algebra ausführlich und motivierend behandelt.

Die Algebra wird von vielen Studierenden als sehr abstrakt empfunden. Daher haben sich die Autoren bemüht, die Ergebnisse und Begriffe mit zahlreichen Beispielen zu unterlegen. Die Beweisführungen sind ausführlich, die Kapitel sind in kleine Lerneinheiten unterteilt. Diese Lerneinheiten führen Schritt für Schritt an die Ergebnisse heran und können durch diese Darstellung vom Leser besser nachvollzogen werden.

Die zahlreichen Aufgaben unterschiedlicher Schwierigkeitsgrade zum Ende der Kapitel überprüfen das Gelernte und fördern das tiefere Verständnis der Theorie. Auf der web site zum Buch stehen ausführliche Lösungsvorschläge zu den Aufgaben bereit.

Die three. Auflage wurde vollständig durchgesehen und um ein Kapitel über freie Gruppen erweitert.

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2 Normalisatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Faktorgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Der Homomorphiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Innere Automorphismen und das Zentrum einer Gruppe * . . . . . . . . 6 Isomorphiesätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Ist U eine Untergruppe einer Gruppe G, so liefert die Menge der Linksnebenklassen a U eine Partition von G.

Es ist im Allgemeinen recht mühsam, alle Untergruppen zu bestimmen, die eine vorgegebene Menge enthalten. 2 (Darstellungssatz) Für jede nichtleere Teilmenge X einer Gruppe G besteht X aus allen endlichen Produkten von Elementen aus X ∪ X −1 : X = {x1 · · · xn | x1 , . . , xn ∈ X ∪ X −1 , n ∈ N} . Wenn G abelsch ist, gilt für a1 , . . , ar ∈ G: a1 , . . , ar = {aν11 · · · aνr r | ν1 , . . , νr ∈ Z} , speziell für die von a ∈ G erzeugte zyklische Untergruppe: a = {aν | ν ∈ Z} . Beweis: Die Menge V = {x1 · · · xn | x1 , .

10 (Homomorphiesatz) Es sei ϕ : G → H ein Gruppenhomomorphismus. Dann sind Kern ϕ ein Normalteiler von G, ϕ(G) eine Untergruppe von H und die Abbildung ⎧ ⎨ G/ Kern ϕ → ϕ(G) ϕ: ⎩ a Kern ϕ → ϕ(a) ein (wohldefinierter) Gruppenisomorphismus; somit gilt G/ Kern ϕ ∼ = ϕ(G) . Beweis: Es seien a, b ∈ G. Die Wohldefiniertheit und Injektivität von ϕ folgen mit der Abkürzung N := Kern ϕ aus: a N = b N ⇔ b−1 a ∈ N ⇔ ϕ(b−1 a) = eH ⇔ ϕ(a) = ϕ(b) . 52 4 Normalteiler und Faktorgruppen Offenbar gilt ϕ(G/N ) = ϕ(G), sodass ϕ auch surjektiv ist.

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